সেটের ধারণা ও ব্যবহার গণিতে বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ। এ জন্য অষ্টম ও নবম-দশম শ্রেণির গণিত বইতে সেট সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে তার বিস্তৃতি হিসেবে আরো আলোচনা করা হলো।
# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন
F = {(- 2, 4), (- 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}
যদি হয়।
বাস্তব বা চিন্তা জগতের বস্তুর যেকোনো সুনির্ধারিত সংগ্রহকে সেট বলা হয়। যেমন S = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} তালিকাটি 10 থেকে বড় নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সেট। সেটকে এভাবে তালিকার সাহায্যে বর্ণনা করাকে তালিকা পদ্ধতি বলা হয়। যে সকল বস্তু নিয়ে সেট গঠিত এদের প্রত্যেককে ঐ সেটের উপাদান বলা হয়। সেটের উপাদান হলে লেখা হয় এবং সেটের উপাদান না হলে লেখা হয়। উপরোক্ত সেট S কে লেখা যায় S = {x : x, 100 থেকে বড় নয় এমন পূর্ণবর্গ সংখ্যা}। এই পদ্ধতিকে সেট গঠন পদ্ধতি বলা হয়।
মনে করি
S= {x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং 5x ≤ 16}
T={x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং }
P={x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং }
এই সেট তিনটির উপাদানসমূহ U ={x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} সেটটির উপাদান নিয়ে গঠিত। U কে S, T, P সেটের জন্য সার্বিক সেট বিবেচনা করা যায়।
সেট সংক্রান্ত কোনো আলোচনায় একটি নির্দিষ্ট সেটকে সার্বিক সেট বলা হয়, যদি আলোচনাধীন সকল সেটের উপাদানসমূহ ঐ নির্দিষ্ট সেটের অন্তর্ভুক্ত হয়।
N = {1, 2, 3, · · · } অর্থাৎ সকল স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সেট।
Z = {· · · · −2, −1, 0, 1, 2, 3,....... } অর্থাৎ সকল পূর্ণ সংখ্যার সেট।
Q = {, যেখানে p যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা এবং q যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} অর্থাৎ q সকল মূলদ সংখ্যার সেট।
R = {x : x বাস্তব সংখ্যা} অর্থাৎ সকল বাস্তব সংখ্যার সেট।
A ও B সেট হলে A কে B এর উপসেট বলা হয় যদি ও কেবল যদি A এর প্রত্যেক উপাদান B এর উপাদান হয় এবং একে লিখে প্রকাশ করা হয়। যেমন A {2, 3}, B = {2, 3, 5, 7} এর উপসেট। A, B এর উপসেট না হলে লেখা হয়। যেমন A = {1,3}, B = {2, 3, 5, 7} এর উপসেট নয়।
উদাহরণ ১. যদি A = { ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা}, B = {0} এবং X = { পূর্ণ সংখ্যা} হয়, তবে A, B এবং X এর মধ্যে সম্পর্ক কী?
সমাধান: এখানে
অনেক সময় এরূপ সেট বিবেচনা করতে হয় যাতে কোনো উপাদান থাকে না। এরূপ সেটকে ফাঁকা সেট বলা হয় এবং Ø অথবা {} লিখে প্রকাশ করা হয়।
উদাহরণ ২. { বাস্তব সংখ্যা এবং } একটি ফাঁকা সেট, কেননা কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক নয়।
উদাহরণ ৩. F = {, ২০১৪ সাল পর্যন্ত ফুটবলের বিশ্বকাপ বিজয়ী আফ্রিকার দেশ} একটি ফাঁকা সেট, কেননা আফ্রিকার কোনো দেশই ২০১৪ সাল পর্যন্ত ফুটবলের বিশ্বকাপ জয় করতে পারেনি।
A ও B সেট যদি এমন হয় যে এদের উপাদানগুলো একই তবে A ও B একই সেট এবং তা A = B লিখে প্রকাশ করা হয়। যেমন A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 2, 3, 4, 4, 4}। লক্ষ কর কোনো সেটে একই উপাদান বার বার থাকলেও সেটা একবার থাকার মতই বিবেচনা করা হচ্ছে। A = B হয় যদি ও কেবল যদি এবং হয়। সেট সমতা প্রমাণে এই তথ্য খুবই প্রয়োজনীয়।
A কে B এর প্রকৃত উপসেট বলা হয় যদি ও কেবল যদি এবং । অর্থাৎ A এর প্রত্যেক উপাদান B এরও উপাদান এবং B তে অন্তত একটি উপাদান আছে যা A তে নেই। যেমন A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} । A, B এর প্রকৃত উপসেট বুঝাতে লেখা হয়।
ক) যেকোনো সেট A এর জন্য । এর কারণ x ∈ A ⇒ x ∈ A
খ) যেকোনো সেট A এর জন্য । এর কারণ না হলে তে একটি উপাদান আছে যা A তে নাই। কিন্তু ইহা কখনই সত্য নয় কারণ Ø ফাঁকা সেট। অতএব | উল্লেখ্য ফাঁকা সেট বা যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট।
A ও B সেট হলে A \ B সেটটি হচ্ছে {x : x ∈ A এবং x B }
A \ B কে A বাদ B সেট বলা হয় এবং A এর যে সকল উপাদান B তে আছে সেগুলো A থেকে বর্জন করে A\ B গঠন করা হয়।
উদাহরণ ৪. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} এবং B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} হলে A \ B = {1, 3, 5, 7, 9} ।
সার্বিক সেট U এবং হলে A এর পূরক সেট হচ্ছে U \ A
অর্থাৎ U \ A = { এবং } ।
সার্বিক সেট থেকে A সেটের উপাদানগুলো বর্জন করলেই A এর পূরক সেট পাওয়া যায় এবং তাকে বা লিখে প্রকাশ করা হয়।
উদাহরণ ৫. যদি সার্বিক সেট U সকল পূর্ণসংখ্যার সেট হয় এবং A সকল ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সেট হয়, তবে (U সাপেক্ষে) A এর পূরক সেট বা = {0, 1, 2, 3, ... }
A সেটের সকল উপসেটের সেটকে A এর শক্তি সেট বলা হয় এবং P(A) দ্বারা নির্দেশ করা হয়। উল্লেখ্য যে
Ø ⊆ A। কাজেই Ø, P(A) এরও উপাদান।
| A সেট | P(A) শক্তি সেট |
উদাহরণ ৬. A = {a, b} এবং B = {b, c} হলে দেখাও যে,
সমাধান: এখানে
সুতরাং,
সেট সংক্রান্ত তথ্যাদি অনেক সময় চিত্রে প্রকাশ করা সুবিধাজনক। উদ্ভাবক John Venn (১৮৩৪ - ১৯২৩) এর নামানুসারে এরূপ চিত্রকে ভেনচিত্র বলা হয়। গণিত বইতে এ সম্পর্কে বিশদ আলোচনা করা হয়েছে।
উদাহরণ ৭. সার্বিক সেট U এর সাপেক্ষে A সেট এর পূরক সেট A' এর চিত্ররূপ:
যদি A ও B সেট এমন হয় যে = Ø, তবে A ও B কে নিশ্ছেদ সেট বলা হয়।
উদাহরণ ৯. A {x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} এবং B {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} হলে A ও B সেটদ্বয় নিশ্ছেদ, কেননা
উদাহরণ ১০.A = { এবং } এবং B = { এবং } হলে ।
দুইটি সেট A এবং B এর কার্তেসীয় গুণজ = {এবং}।
উদাহরণ ১১. A = {1, 2}, B = {a, b, c} দুইটি সেট। সুতরাং এই দুইটি সেটের কার্তেসীয় গুণজ সেট |
এখানে প্রত্যেক ক্ষেত্রে সার্বিক সেট এবং সেটগুলো এর উপসেট।
ক) বিনিময় বিধি
(১) (২)
খ) সংযোগ বিধি
(১) (২)
গ) বন্টন বিধি
(১) (২) An (BUC) = (AB) U (ANC)
ঘ) ডি মরগ্যানের সূত্র
(১) (২)
ঙ) অন্যান্য সূত্র
(১) (২)
(৩) (৪)
(৫) (৬)
(৭) (৮)
(৯)
নিচের বামের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু এবং উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে । নিচের ডানের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু এবং উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে |
উপরে ভেনচিত্রের সাহায্যে যাচাই করা হয়েছে। এবার সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।
মনে করি A = {1,2,4} এবং B = {2, 3, 5} দুইটি সেট।
তাহলে, ।
আবার, ।
সুতরাং এক্ষেত্রে
অন্য দিকে, এবং ।
সুতরাং এক্ষেত্রে
নিচের বামের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু এবং উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে । নিচের ডানের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু এবং উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে ।
উপরে ভেনচিত্রের সাহায্যে যাচাই করা হয়েছে। এবার সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।
মনে করি এবং ।
তাহলে,
এবং ।
আবার,
এবং ।
সুতরাং এক্ষেত্রে ।
আবার,
এবং ।
আবার,
এবং।
সুতরাং এক্ষেত্রে
দ্রষ্টব্য: সেটের সংযোগ ও ছেদ প্রক্রিয়া দুইটির প্রতিটি অপরটির প্রেক্ষিতে বন্টন নিয়ম মেনে চলে।
প্রতিজ্ঞা ১ (ডি মরগ্যানের সূত্র): সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B এর জন্য
ক) খ)
প্রমাণ: ( কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)
ক) মনে করি,। তাহলে, |
এবং এবং
আবার মনে করি,। তাহলে, এবং
এবং
সুতরাং ।
প্রতিজ্ঞা ২. সার্বিক সেট এর যেকোনো উপসেট ও এর জন্য
প্রমাণ: মনে করি, । তাহলে, এবং ।
এবং
।
আবার মনে করি, । তাহলে, এবং ।
এবং
সুতরাং,
প্ৰতিজ্ঞা ৩. যেকোনো সেট এর জন্য
ক)
খ)
প্রমাণ:(কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)
ক) সংজ্ঞানুসারে,
এবং
এবং
আবার,
এবং
এবং
সুতরাং, ।
সেট প্রক্রিয়া সংক্রান্ত আরো কতিপয় প্রতিজ্ঞা
ক) যেকোনো সেট হলে ।
খ) ফাঁকা সেট যেকোনো সেট এর উপসেট।
গ) ও যেকোনো সেট হলে হবে যদি ও কেবল যদি এবং হয়।
ঘ) যদি হয়, তবে ।
ঙ) যদি এবং তবে, ।
চ) ও যেকোনো সেট হলে, এবং ।
ছ) ও যেকোনো সেট হলে, এবং ।
প্রমাণ: কেবল দুইটি প্রতিজ্ঞার প্রমাণ দেওয়া হয়েছে। অন্যগুলো নিজে কর।
ঘ) দেওয়া আছে, , আবার আমরা জানি, । সুতরাং ।
ছ) সেট সংযোগের সংজ্ঞানুযায়ী, সেটের সকল উপাদান সেটে থাকে। সুতরাং উপসেটের সংজ্ঞানুযায়ী । একই যুক্তিতে ।
মনে করি, A= {a,b,c} তিনজন লোকের সেট এবং B= {30, 40, 50} ঐ তিনজন লোকের বয়সের সেট। অধিকন্তু মনে করি, a এর
বয়স 30 বছর, b এর বয়স 40 বছর এবং c এর বয়স 50 বছর। বলা যায় যে, A সেটের সাথে B সেটের এক-এক মিল আছে।
সংজ্ঞা ১ (এক-এক মিল). যদি A সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে B সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদান এবং B সেটের প্রতিটি
উপাদানের সাথে A সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদানের মিল স্থাপন করা যায়, তবে তাকে A ও B এর মধ্যে এক-এক মিল বলা
হয়। A ও B এর মধ্যে এক-এক মিলকে সাধারণত লিখে প্রকাশ করা হয় এবং A সেটের কোনো সদস্য এর সঙ্গে B
সেটের যেসদস্য এর মিল করা হয়েছে তা লিখে বর্ণনা করা হয়।
ধরি, A = {1,2,3} এবং B = {a, b, c} দুইটি সেট। নিচের চিত্রে A ও B সেটদ্বয়ের মধ্যে একটি এক-এক মিল স্থাপন করে দেখানো হলো:
সংজ্ঞা ২ (সমতুল সেট). যেকোনো সেট A ও B এর মধ্যে যদি একটি এক-এক মিল বর্ণনা করা যায়, তবে A ও B কে সমতুল সেট বলা হয়। A ও B কে সমতুল বোঝাতে লেখা হয়। হলে, এদের যেকোনো একটিকে অপরটির সাথে সমতুল বলা হয়। লক্ষণীয় যে, যেকোনো সেট A, B ও C এর জন্য
ক)
খ) হলে
গ) এবং হলে
উদাহরণ ১২. দেখাও যে, A={1, 2, 3, · · ·, n} এবং B={1, 3, 5, · · ·, 2n – 1} সেটদ্বয় সমতুল, যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
সমাধান: A ও B সমতুল, কারণ সেট দুইটির মধ্যে নিচের মতো একটি এক-এক মিল রয়েছে।
মন্তব্য: উপরে চিত্রিত এক-এক মিলটিকে দ্বারা বর্ণনা করা যায়।
উদাহরণ ১৪. দেখাও যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N এবং জোড় সংখ্যার সেট A = {2, 4, 6, 2n, · } সমতুল।
সমাধান: N = {1, 2, 3, , n, . . . } ও A সমতুল সেট, কারণ N এবং A এর মধ্যে নিচের চিত্রের মতো একটি এক-এক মিল রয়েছে।
মন্তব্য: উপরে চিত্রিত এক-এক মিলটিকে দ্বারা বর্ণনা করা যায়।
দ্রষ্টব্য: ফাঁকা সেট কে নিজের সমতুল ধরা হয়। অর্থাৎ, ~
প্রতিজ্ঞা 8. প্রত্যেক সেট A তার নিজের সমতুল। অর্থাৎ,
প্রমাণ: হলে, ধরা হয়। আর হলে প্রত্যেক সদস্য এর সঙ্গে তার নিজেকে মিল করে এক-এক মিল স্থাপিত হয়। সুতরাং ।
প্রতিজ্ঞা ৫. A ও B সমতুল সেট এবং B ও C সমতুল সেট হলে A ও C সমতুল সেট।
প্রমাণ: যেহেতু , সুতরাং এর প্রত্যেক সদস্য এর সঙ্গে এর একটি অনন্য সদস্য এর মিল করা যায়। আবার যেহেতু , সুতরাং এর এই সদস্য এর সঙ্গে এর একটি অনন্য সদস্য এর মিল করা যায়। এখন এর সদস্য এর সঙ্গে এর সদস্য এর মিল করা হলে, ও সেটের মধ্যে একটি এক-এক মিল স্থাপিত হয়। অর্থাৎ, হয়।
A ও B সেট হলে এদের সংযোগ সেট হচ্ছে ={ অথবা }। অর্থাৎ A ও B উভয় সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটই |
A ও B সেট হলে এদের ছেদ সেট হচ্ছে { এবং }।
অর্থাৎ A ও B সেটের সকল সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটই An B
উদাহরণ ৮. সার্বিক সেট U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} এর দুইটি উপসেট A = {x : x মৌলিক সংখ্যা} এবং B = {x : x বিজোড় সংখ্যা}।
তাহলে A = {2, 3, 5, 7} এবং B = {1, 3, 5, 7, 9}।
সুতরাং = {1, 2, 3, 5, 7, 9}, = {3, 5, 7},
= {0, 1, 4, 6, 8, 9}, = {0, 2, 4, 6, 8},
= {0, 1, 2, 4, 6, 8, 9}, = {0, 4, 6, 8},
= {0, 1, 2, 4, 6, 8, 9}, = {0, 4, 6, 8} ।
a ও b বাস্তব সংখ্যা এবং a b হলে
ক) কে খোলা ব্যবধি (open interval) বলে।
খ) কে বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) বলে।
গ) এবং কে যথাক্রমে খোলা-বদ্ধ ও বদ্ধ-খোলা ব্যবধি বলে।
Read more
